Van beweging naar begrip: redeneren over grafieken in het reken-wiskundeonderwijs

In dit redeneren staat het maken van een verbinding tussen de variabelen op de x-as en de y-as centraal. Hierbij is specifiek gekeken naar of en in hoeverre fysieke ervaringen bijdragen aan dit redeneren over de wiskundige concepten gerelateerd aan grafieken. Er werd een lessenserie ontwikkeld waarbij leerlingen onder andere de mogelijkheid kregen zelf grafieken te ‘lopen’ met behulp van een bewegingssensor.

 

Inleiding

In ons dagelijks leven worden we voortdurend geconfronteerd met grafisch gerepresenteerde informatie. Denk maar eens aan alle grafieken die we tegenkomen in de krant, op de televisie, of op het internet. De informatie in deze grafieken is vaak complex, en wordt soms ook op vrij complexe wijze weergegeven. Een actueel voorbeeld hiervan vinden we in de overvloed aan grafieken die iets laten zien van de ontwikkeling van Covid-19, bijvoorbeeld het aantal besmettingen per dag en het aantal besmettingen cumulatief (zie ook Keijzer, Hendrikse & Bosch, 2021). Om goed om te kunnen gaan met dergelijke complexe grafieken is grafiekbegrip essentieel. Dit grafiekbegrip houdt niet alleen in dat je grafieken kunt interpreteren en construeren, maar ook dat je de informatie in deze grafieken kritisch kunt beschouwen. Grafieken waarin een continue verandering is weergegeven, zoals temperatuur of beweging, vragen in het bijzonder om het nodige inzicht. Het is dan ook van belang om al op jonge leeftijd inzicht te ontwikkelen in zowel de formele aspecten van grafieken zoals bijvoorbeeld de assen, de weergegeven variabelen, samengestelde grootheden, als het ontwikkelen van de taal die gebruikt wordt om over deze grafieken te spreken, zoals bijvoorbeeld stijgen, dalen, constant, helling, horizontale en verticale as. Daarnaast zijn ook andere vaardigheden van belang, zoals het redeneren over samengestelde grootheden in de grafiek, het beschrijven van oorzaak-gevolg relaties, logisch redeneren en het oplossen van problemen gerelateerd aan grafieken (Ainsworth, 2006; Friel et al., 2001; Shah & Hoeffner, 2002). Deze meer complexe vaardigheden worden ook wel gezien als hogere-orde denkvaardigheden (HOV).

 

Hogere-orde denkvaardigheden in het reken-wiskunde onderwijs op de basisschool

Het onderwijzen van HOV wordt gezien als een steeds belangrijker onderdeel van het reken-wiskundeonderwijs in de 21ste eeuw (NCTM, 2000; OECD, 2019; Thijs et al., 2014; Van den Heuvel-Panhuizen & Bodin-Baarends, 2004). Terwijl internationaal meer en meer wordt benadrukt om de basis voor HOV al op jonge leeftijd te leggen (Common Core State Standards State Initiative, CCSSI, 2010; Goldenberg et al., 2003; NCTM, 2000), wordt in het Nederlandse basisonderwijs aan HOV vrijwel geen aandacht besteed (Van Zanten & Van den Heuvel-Panhuizen, 2018). Ook grafieken van beweging worden weinig uitvoerig behandeld. Dit zien we als een gemiste kans. Meer wiskundige onderwerpen, zoals grafieken van beweging waarin een continue verandering zichtbaar is, bieden aanknopingspunten om hogere niveaus van redeneren uit te lokken bij leerlingen. Activiteiten waarbij ingezet wordt op de actieve rol van het lichaam lijken kansrijk om grafieken van beweging te introduceren in het basisonderwijs. Dit idee, dat fysieke ervaringen waardevol zijn voor wiskundig redeneren, vormt de kern van theorieën die uitspraken doen over zogenoemde embodied cognition (vertaling: belichaamde cognitie) (Wilson, 2002). Zo wordt gesteld dat de lichamelijke ervaringen die we opdoen tijdens basale fysieke activiteiten, zoals lopen door de ruimte, balanceren op een evenwichtsbalk of het beklimmen van een trap, zorgen voor de totstandkoming van bepaalde conceptuele metaforen die behulpzaam kunnen zijn in het begrijpen en duiden van abstracte ideeën, waaronder wiskundige concepten (bijvoorbeeld Gallese & Lakoff, 2005; Hall & Nemirovsky, 2012). Binnen theorieën van embodied cognition is het handelen met je lichaam, of wel het inzetten van een breed scala aan visuele perceptuele en motorische activiteiten, essentieel. Ons denken wordt gevormd in interactie met jezelf, de ander en de omgeving. Meer kennis over hoe lichamelijke ervaringen bijdragen aan de ontwikkeling van HOV is nodig. Mijn promotieonderzoek (Duijzer, 2020), dat onderdeel was van het grotere ‘Beyond-Flatland’ project gesubsidieerd door NRO (projectnummer: 405-14-303), had daarom als doel meer inzicht te verkrijgen of en in hoeverre lichamelijke ervaringen kunnen bijdragen aan het redeneren over afstand-tijd grafieken in het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Dit is in vier deelstudies op verschillende manieren onderzocht. We hebben ons gericht op leerlingen uit groep 7, in de leeftijd van 9 tot en met 11 jaar oud. In dit artikel geef ik eerst een korte samenvatting van deze vier deelstudies. Daarna geef ik op basis van de vier deelstudies antwoord op de vraag of en in hoeverre lichamelijke ervaringen bijdragen aan wiskundige HOV bij leerlingen in groep 7.

 

Het belang van een embodied leeromgeving

In de onderzoeksliteratuur wordt veelvuldig gerapporteerd over leeromgevingen gericht op dynamische grafieken waarbinnen lichamelijke ervaringen een rol spelen, al dan niet bewust. In zo’n leeromgeving krijgen leerlingen bijvoorbeeld de mogelijkheid zelf grafieken te lopen met behulp van een bewegingssensor, waarbij de grafiek gelijktijdig wordt geprojecteerd op een Digibord. Deze leeromgevingen worden ook wel embodied leeromgevingen genoemd (bijvoorbeeld Johnson-Glenberg, 2014). Om meer inzicht te verkrijgen in de kenmerkende aspecten van deze leeromgevingen en haar leerpotentieel werden allereerst deze bestaande embodied leeromgevingen in kaart gebracht. Deelstudie 1 (Duijzer, Van den Heuvel-Panhuizen, Veldhuis, Doorman & Leseman, 2019) richt zich op deze systematische reviewstudie. Na een uitgebreide zoektocht in een viertal databases en de daarop volgende selectieprocedure, werden 44 studies gevonden met daarin 62 embodied leeromgevingen. Allereerst werden deze leeromgevingen ingedeeld op twee kenmerkende aspecten van embodied leeromgevingen: bodily involvement, ofwel de mate waarin het lichaam betrokken is in de activiteit en immediacy ofwel de mate van directheid van de lichamelijke ervaring. Dit resulteerde in vier groepen. Het gaat hier onder andere om bewegen met het eigen lichaam waarbij de lichamelijke ervaring direct gekoppeld werd aan de grafiek, immediate own motion, waarin een leerling beweegt voor een bewegingssensor. De sensor meet de afstand tot de leerling. Op basis van deze informatie wordt gelijktijdig een grafiek geprojecteerd op de computer, zichtbaar voor de leerling. In het ander uiterste van het spectrum gaan het om het observeren van de bewegingen van een ander of van een object waarbij de lichamelijke ervaring op een later moment werd gekoppeld aan de grafiek, aangeduid als non-immediate others’/objects’ motion. Hier gaat het bijvoorbeeld om een object dat zichzelf vooruit beweegt met een bepaalde snelheid, waarbij het object automatisch kleine boontjes op de grond laat vallen. Een leerling meet de tijd. Op basis van de afstand tussen de boontjes wordt een grafiek geconstrueerd. Vervolgens is gekeken naar welke factoren binnen deze leeromgevingen karakteriserend zijn voor het leren dat plaatsvindt. In totaal werden acht van deze karakteristieken gevonden. Deze acht karakteristieken zijn: real-world context (realistische context), multimodality (multimodaliteit), linking motion to graph (koppeling tussen beweging en grafiek), multiple representations (meerdere representaties), semiotics (semiotiek), student control (controle), attention capturing (aandacht vangen), en cognitive conflict (cognitief conflict). Deze acht karakteristieken hebben elk hun eigen rol in hoe ze het leren binnen de leeromgeving kunnen bevorderen. Bijvoorbeeld, linking motion to graph beschrijft hoe leerlingen de directe link tussen beweging en de daarbij behorende grafiek kunnen ervaren en observeren. Multimodality houdt in dat door gebruik te maken van een bepaald hulpmiddel, zoalseen bewegingssensor of een bepaalde instructie, ten minste twee modaliteiten, zoals zien, horen, aanraken, inbeelden, of motoractie, tegelijkertijd worden geactiveerd. Binnen elk van de vier eerder genoemde groepen lag het accent op andere karakteristieken, of kwamen bepaalde karakteristieken helemaal niet voor.

 

Er is dus veel variatie aanwezig bij embodied leeromgevingen. De vier groepen in combinatie met de acht gevonden karakteristieken zijn kenmerkend voor de complexe aard van embodied leeromgevingen. Ten slotte is gekeken naar de studies die ook een vergelijking maakten tussen meerdere leeromgevingen, waarbij we ons hebben gericht op datgene wat gerapporteerd werd door de auteurs van deze artikelen. Hieruit bleek dat de leeromgevingen waarin gebruik gemaakt werd van eigen bewegingen die onmiddellijk gekoppeld werden aan de grafische representatie van die beweging bleken het meest effectief in termen van leeruitkomsten.

 

Van beweging naar begrip: Het effect van een embodied leeromgeving op het redeneren over grafieken

Om meer inzicht te krijgen in hoeverre fysieke ervaringen ingezet kunnen worden om zo het redeneren over afstand-tijd grafieken te stimuleren werd een interventie ontworpen. De interventie bestond uit een zesdelige lessenserie ontwikkeld voor leerlingen uit groep 7. In deze lessenserie stonden wiskundige activiteiten rondom grafieken centraal, meer specifiek, het grafisch weergeven van beweging, met afstand als functie van tijd. In de eerste les ontwikkelden de leerlingen eerst zelf een (informele) representatie van een beweging. In de lessen die volgden werden situaties geïntroduceerd waarbij afstand eerst discreet weergegeven werd in de grafiek en vervolgens continu. Tegen het einde van de lessenreeks werd leerlingen gevraagd bepaalde situaties weer te geven in grafieken, of een bepaalde grafiek terug te herleiden naar de situatie. De mogelijkheid om de grafiek zelf fysiek te ervaren vormde een belangrijk uitgangspunt van de lessenserie. Om die reden werden twee parallelle versies van de lessenserie ontworpen. In de ene versie van deze lessenserie kregen de leerlingen directe embodied ondersteuning door gebruik te maken van een bewegingssensor. Hierbij werden bepaalde activiteiten ontwikkeld waarbij de eigen bewegingen direct gevisualiseerd konden worden als een lijn in een afstand-tijdgrafiek Bijvoorbeeld door het projecteren van de grafiek op het digitale schoolbord (afbeelding 1).

 

In de andere versie van deze lessenserie kregen de leerlingen indirecte embodied ondersteuning. Hierbij werden bepaalde activiteiten ontwikkeld waarbij een object en de beweging van dat object werden geprojecteerd op het digitale schoolbord. Ook maakten de leerlingen in deze versie van de lessenserie bepaalde taken op papier. Deze taken werden in de lessenserie met directe ondersteuning fysiek uitgevoerd. Leerlingen kwamen in de indirecte versie van de lessenserie in aanraking met de context van de bewegingssensor, echter zonder de aanwezigheid van het apparaat zelf.

 

Deelstudie 2 (Duijzer, Van den Heuvel-Panhuizen, Veldhuis & Doorman, 2019) beschrijft eerst in algemene zin hoe de leerlingen die deelnamen aan de lessenserie met directe embodied ondersteuning hun redeneren over de grafieken ontwikkelden over de zes lessen heen. De lessen werden gegeven door de onderzoeker met hulp van een onderwijsassistent. De ontwikkeling van de leerlingen over de zes lessen werd gemeten met een grafiekinterpretatietaak (afbeelding 2, links) en een grafiekconstructietaak na elke les (afbeelding 2, rechts), waarbij telkens een van deze taken in de daaropvolgende les werd herhaald.

 

Op die manier was het mogelijk de ontwikkeling van de leerlingen over de lessen in kaart te brengen. Uit het onderzoek kwam naar voren dat de leerlingen over de zes lessen van iconisch redeneren over de afstand-tijdgrafieken, bijvoorbeeld ‘de luchtballon gaat omhoog en de lijn ook’, naar redeneren gingen waarbij de variabelen afstand en tijd, gerepresenteerd op de assen van de grafieken, impliciet of expliciet werden benoemd. Op dit hogere niveau van redeneren lieten de leerlingen ook informeel redeneren over covariantie zien, bijvoorbeeld ‘het afleggen van meer afstand in minder tijd’. Naast de ontwikkeling van de groep als geheel werd in deze studie ook een kleiner groepje van 7 leerlingen gevolgd, waarbij de ontwikkeling van deze leerlingen werd beschreven in een aantal leerepisoden. In deze leerepisoden staat een leerling uit dit groepje, genaamd Celine, centraal. De eerste leerepisode is afkomstig uit Les 3. Na het een en ander uit te proberen voor de bewegingssensor wordt aan de leerlingen gevraagd een afstand-tijdgrafiek na te lopen (afbeelding 3, links). Om dit te kunnen moet de gegeven grafiek eerst geïnterpreteerd worden ten aanzien van afstand tot de sensor (waar te starten met lopen), en ten aanzien van tijd. Na een korte discussie loopt Mark de grafiek. De grafiek die Mark loopt is niet helemaal gelijk aan de gegeven grafiek (afbeelding 3, rechts).

 

In het hierna volgende protocol is de interactie weergegeven die plaatsvindt tussen Celine en de leerkracht. Celine reageert op de grafiek die Mark loopt. Deze grafiek wordt gelijktijdig weergegeven op het scherm van de computer:

 

Celine: ‘Hij maakt ze groter.’

Celine: ‘Ze moeten dichter bij elkaar.’

Leerkracht: ‘Hoe kunnen we de grafieken meer hetzelfde maken?’

Celine: ‘Een beetje sneller… een beetje sneller en een iets kleinere afstand?’

 

In eerste instantie loopt Mark sneller dan de grafiek van de leerlingen vraagt. Celine merkt op dat de heuvels die Mark maakt groter zijn dan de heuvels in de gegeven grafiek, en dat Mark meer afstand aflegt terwijl hij langer doet over de repeterende beweging. In deze discussie duidt Celine met handgebaren de vorm van de grafiek die Mark loopt, en die hij zou moeten lopen. Hierbij beschrijft Celine in eerste instantie de vorm van de grafiek in handgebaren. Deze gebaren laten zien wat zij bedoelt. Vervolgens koppelt ze dit aan dat wat Mark moet doen: ‘Hij moet een beetje sneller [lopen]… en een iets kleinere afstand [afleggen].’ In deze leerepisode zien we hoe gebaren en woorden door Celine worden gekoppeld aan de vorm van de grafiek en vervolgens aan de specifieke bewegingen die nodig zijn om de grafiek te maken. Daarnaast is het redeneren van Celine een voorbeeld van hoe de embodied leeromgeving de leerlingen stimuleert om de grafiek niet langer iconisch te interpreteren, maar als de relatie tussen de variabelen op de x­-as en de y-as. De leerepisoden in deze deelstudie laten zien hoe de fysieke interactie van Celine met de bewegingssensor, maar ook de interactie van Celine met de docent en haar klasgenoten het redeneren over de grafieken stimuleert. Zo ontwikkelde Celine meer begrip over de grafieken  waarbij verschillende modaliteiten zoals zien, horen, gebaren, bewegen, door haar werden  gekoppeld aan de grafische representatie - al dan niet bewust – op het scherm van de computer. Bij Celine, maar ook bij de andere leerlingen, waaronder Amir en Marc, zagen we dat de ervaring van het lopen voor de bewegingssensor  samen ging met hogere niveaus van redeneren over de grafiek. Dit wiskundig redeneren richtte zich op de variabelen afstand, tijd en snelheid, bijvoorbeeld meer afstand in minder tijd resulteert in een steilere helling.

 

Deelstudie 3 (Duijzer, Van den Heuvel-Panhuizen, Veldhuis, Boom, Doorman & Leseman, 2020) onderzocht het effect van de lessenserie met directe ondersteuning versus de lessenserie met indirecte ondersteuning op het redeneren van de leerlingen over afstand-tijd grafieken. We maakten hierbij gebruik van een longitudinaal design om de veranderingen in het grafisch redeneren van de leerlingen gedurende het schooljaar te kunnen onderzoeken. Dit longitudinale design houdt in dat elke groep die deelnam in dit onderzoek op meerdere momenten gedurende het schooljaar gemeten werd, namelijk vier keer. Zes groepen in totaal namen deel aan ons onderzoek. De lessenserie werd één keer gegeven aan elke groep. De ontwikkeling van de leerlingen in hun grafisch redeneren werd gedurende het schooljaar gemeten  door gebruik te maken van drie grafiekinterpretatie taken en één grafiekconstructietaak (afbeelding 4).

 

Drie groepen kregen de lessenserie met daarin indirecte embodied activiteiten, en drie groepen kregen de lessenserie met daarin directe embodied activiteiten. De lessen in de indirecte embodied conditie bevatten vergelijkbare activiteiten als de activiteiten in de directe embodied conditie. In de indirecte embodied conditie kregen de leerlingen niet de mogelijkheid om bepaalde bewegingen zelf uit te voeren door gebruik te maken van een bewegingssensor. In deze indirecte embodied conditie werd de beweging van een object als uitgangspunt genomen. De beweging van dit object werd weergegeven op papier, als beschrijving, en dynamisch, als projectie op het digitale schoolbord. Een derde groep leerlingen diende als baseline conditie. De resultaten van de leerlingen in deze baseline conditie dienden als ijkpunt om vooruitgang in beide andere condities vast te kunnen stellen. Deze leerlingen kregen les over een ander wiskundig onderwerp, namelijk kans. De resultaten laten zien dat de leerlingen in zowel de directe als indirecte embodied conditie sterk vooruit gingen in hun redeneren op de grafiektaken na het volgen van de zes lessen. Hieruit blijkt dat beide versies van de lessenserie effectief waren. Verder bleek de directe embodied conditie meer effectief dan de indirecte embodied conditie. De leerlingen in de directe embodied conditie vertoonden een sterkere groei in hun grafisch redeneren dan de leerlingen in de indirecte embodied conditie. Hieruit blijkt dat directe embodied ervaringen, zoals aangeboden in onze lessenserie, kansrijk zijn in het stimuleren van het grafisch redeneren van leerlingen in groep 7. De gevonden resultaten zijn overeenkomstig de systematische reviewstudie (deelstudie 1).  

 

Hogere-orde denkvaardigheden binnen een ander wiskundig domein

In voorgaande deelstudies hebben we ons gericht op wiskundige HOV als het redeneren over afstand-tijd grafieken. Dit redeneren kan gezien worden als domein-specifiek. Hogere niveaus van redeneren worden bereikt als gevolg van toenemende kennis binnen dit deeldomein. Dit domein-specifieke element van wiskundige HOV maakt gebruik van het redeneren over covariantie. Covariantie is een parameter die de mate van samenhang tussen bepaalde variabelen uitdrukt. Dit redeneren over covariantie speelt ook een rol binnen andere wiskundige domeinen, waaronder algebra.

 

Deelstudie 4 (Duijzer, Otten, Van den Heuvel-Panhuizen, Veldhuis, Boom, Doorman & Leseman, 2020) richt zich op het onderzoeken in hoeverre een interventie gericht op grafisch redeneren ook HOV kan stimuleren binnen een ander wiskundig domein, namelijk algebra. Het is aannemelijk dat als bepaalde elementen van HOV die relevant zijn binnen meerdere wiskundige domeinen, er transfer zou kunnen optreden vanuit het domein waarin bepaalde elementen versterkt worden naar het andere domein, op basis van domein-algemeen wiskundig redeneren. Dit domein-algemeen wiskundig redeneren omvatte  het extraheren, gebruiken, en combineren van meerdere bronnen van informatie. De laatste deelstudie beschrijft het onderzoek naar HOV binnen een ander wiskundig domein, namelijk lineaire vergelijkingen om meer inzicht krijgen of en in hoeverre het wiskundig redeneren van de leerlingen domeins-specifiek, domein-algemeen of beide is.

 

De leerlingen die deelnamen aan ons onderzoek (deelstudie 2 en deelstudie 3), maakten ook vier algebra gerelateerde taken (afbeelding 5) waarin gevraagd werd lineaire vergelijkingen op te lossen. Door het analyseren van het redeneren van de leerlingen op deze taken konden we een inschatting maken van hun algebraïsch redeneren. De resultaten laten zien dat de leerlingen op hogere niveaus redeneerden na de grafiek-interventie op zowel de grafiek taken als de algebra taken. Deze groei was sterker zichtbaar in het redeneren op de grafiek taken dan in het redeneren op de algebra taken. Op individueel niveau werd geen verband gevonden tussen de groei op het grafisch redeneren en de groei op het algebraïsch redeneren. Met andere woorden, de leerlingen die hun grafisch redeneren verbeterden, verbeterden niet hun algebraïsch redeneren, en omgekeerd. Op basis hiervan trekken we de voorlopige conclusie dat de HOV gestimuleerd in de lessenreeks over grafieken niet per definitie resulteerde in HOV binnen een ander wiskundig domein. De bevinding dat de leerlingen wel een verbetering in hun algebraïsch redeneren vertoonden na deelname aan de interventie, verdient dan ook nader onderzoek.

 

Conclusie

Met dit onderzoek probeerden we antwoord te vinden op de vragen of en in hoeverre lichamelijke ervaringen bijdragen aan wiskundige HOV bij leerlingen in groep 7. Ook is gekeken naar de waarde van directe versus indirecte embodied ervaringen tijdens wiskundige activiteiten voor het stimuleren van het grafisch redeneren van deze leerlingen. De eerste deelstudie, de systematische literatuurstudie, vormde de theoretische onderlegger voor de overige deelstudies. In deze systematische review werden al bestaande embodied leeromgevingen gecategoriseerd. Uit deze reviewstudie bleek onder andere dat er een grotere variëteit aan embodied leeromgevingen bestaat, en dat leeromgevingen met daarbinnen activiteiten waarbij de eigen bewegingen direct gekoppeld worden aan de grafiek het meest kansrijk lijken om dynamische grafieken te introduceren. In de interventie die centraal stond in deelstudie twee tot en met vier was deze koppeling tussen beweging en grafiek een belangrijk uitgangspunt. In de directe embodied conditie kreeg dit vorm door ‘het lopen’ van grafieken voor een bewegingssensor, waarbij de grafische representatie van die beweging direct geprojecteerd werd op het Digibord. Deelstudie 2 laat zien dat binnen deze directe embodied leeromgeving leerlingen hogere niveaus van grafisch redeneren bereiken. Daarnaast lijken directe fysieke ervaringen meer kansrijk dan indirecte fysieke ervaringen (deelstudie 3). Het lijkt dan ook van belang om leerlingen mogelijkheden te bieden fysieke ervaringen op te doen die direct gerelateerd zijn aan het te leren wiskundige concept, om zo het redeneren over dat wiskundige concept te bevorderen.

 

Op basis van de vier deelstudies kunnen we allereerst de conclusie trekken dat lichamelijke ervaringen kansrijk zijn om HOV te bevorderen, in de zin van het redeneren van leerlingen over grafieken van beweging . Hierbij kunnen relatief simpele activiteiten, zoals ‘het lopen’ van grafieken voor de bewegingssensor, ervoor zorgen dat leerlingen op natuurlijke wijze een connectie maken tussen de eigen beweging en de lijn in de grafiek, waarbij nieuwe inzichten gekoppeld worden aan de al bestaande intuïtieve ideeën over de grafiek. De leeromgeving die we hebben ontwikkeld in het kader van dit promotieonderzoek, kan gezien worden als een domein-specifieke

operationalisatie van wiskundige HOV op het niveau van de basisschool. Dit is een waardevol resultaat voor de huidige onderwijspraktijk, aangezien er momenteel aandacht wordt besteed aan de vraag hoe HOV, als belangrijk onderdeel van 21ste-eeuwse vaardigheden, gestimuleerd kunnen worden.

 

Aanbevelingen voor de onderwijspraktijk

Op basis van de bevindingen van dit onderzoek kunnen aanbevelingen worden gedaan voor de onderwijspraktijk. Een eerste aanbeveling is dat we leerlingen meer fysieke mogelijkheden kunnen bieden tijdens de wiskundeles om zo wiskundige HOV te stimuleren. Hierbij is het van belang op zoek te gaan naar juist die fysieke ervaringen die ook daadwerkelijk een connectie hebben met het te leren wiskundige concept. Dit gaat verder dan enkel het aanbieden van fysieke activiteiten. Vanuit theorieën die uitspraken doen over embodied cognitie kunnen we stellen dat de connectie tussen de aard van de beweging en het wiskundig concept belangrijk is. Een tweede aanbeveling is om bij het aanbieden van embodied activiteiten in het stimuleren van het grafisch redeneren van leerlingen rekening te houden met de al bestaande intuïtieve ideeën van leerlingen over grafieken van beweging door op deze intuïtieve ideeën voort te bouwen. Daarbij kan gebruik worden gemaakt van technologie, waaronder bewegingssensoren. Het is hierbij van belang dat leerkrachten ondersteund worden in het gebruik van technologie in het basisonderwijs, waaronder het gebruik van bewegingssensoren, en dat dit verder gefaciliteerd wordt door de leeromgeving zo in te richten dat de bewegingssensor optimaal ingezet kan worden.